Question

 四個紀念幣A、B、C、D，投擲時正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．  

紀念幣	A	B	C	D
正面向上的概率	1/2	1/2	a	a

將這四個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示正面向上的紀念幣的個數．

（Ⅰ）求ξ的分布列及數學期望；  

（Ⅱ）求在概率p(ξ)中，p（ξ=2）為最大時，實數a的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）ξ可能取值為0，1，2，3，4..其中 p(ξ=0)= (1-)²(1-a)²=(1-a)² 

p(ξ=1)= (1-)(1-a)²+(1-)²·a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()²(1-a)²+(1-)a(1-a)+ (1-)²· a²=(1+2a-2 a²)  

p(ξ=3)= ()²a(1-a)+ (1-) a²=

p(ξ=4)= ()² a²=a²                               …………………5分

ξ的期望為Eξ=0×（1-a）²+1×(1-a)+2×(1+2a-2a²)+3×+4×=2a+1  ………7分

 (2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=0) ＜p(ξ=1) ，  p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

又p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a²)- =－≥0

由, 解得a∈[]   ………12分