Question

（本小題12分）已知（）.
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2）若，用單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000043331482.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，值域?yàn)?br />，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，則說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）奇函數(shù).（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（3）滿足題目條件的實(shí)數(shù)存在，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式，解之即可求出函數(shù)的定義域，判定是否對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比較真數(shù)的大小，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足題目條件，然后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)性建立等式關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化成方程x²+（1-a）x+a=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，從而可求出a的取值范圍．
解：（1）由得：或 .
所以，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000043519712.png" style="vertical-align:middle;" />.
又
為奇函數(shù).
（2）任取，且，則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240000436121329.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000043253357.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
故,所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題目條件.
由題意得：，又，
又，，.
故，由（2）得：函數(shù)在區(qū)間上單減.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故，，所以，
所以，
是方程的兩個(gè)不同的實(shí)根.
故，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根.
則，解得：.又，
所以，所以，滿足題目條件的實(shí)數(shù)存在，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于方程在某個(gè)區(qū)間上方有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為分析參數(shù)來(lái)求解其范圍。