【題目】已知函數.
(1)討論函數的單調性;
(2)若不等式在時恒成立,求實數a的取值范圍;
(3)當時,證明:.
【答案】(1)見解析;(2)[1,+∞);(3)證明見解析.
【解析】
(1)求導數可得,當時函數在上單調遞增;當時易得函數在上單調遞增,在上單調遞減;
(2)由(1)知當時,不等式在,時恒成立,當時,不等式不成立,綜合可得的范圍;
(3)由(2)的單調性易得,進而可得,,,,將上述式子相加可得結論.
解:(1)求導數可得,
當時,,函數在上單調遞增;
當時,由可得,
函數在上單調遞增,在上單調遞減;
(2)由(1)知當時,函數在上單調遞增,
,即不等式在時恒成立,
當時,函數在上單調遞減,
存在使得,
即不等式不成立,
綜上可知實數的取值范圍為,;
(3)由(2)得當時,不等式在時恒成立,
即,,.
即,
,,,,
將上述式子相加可得
原不等式得證.
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【題目】若以曲線上任意一點為切點作切線,曲線上總存在異于點的點,使得以點為切點作切線滿足,則稱曲線具有“可平行性”,其中具有“可平行性”的曲線是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖①,在等腰梯形中,,,分別為,的中點,,為中點現將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體在圖②中,
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值。
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【題目】大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中,有一個游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實原理是十分簡單的,要學會盲擰也是很容易的.根據調查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關.為了驗證這個結論,某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調查,得到的情況如下表所示:
喜歡盲擰 | 不喜歡盲擰 | 總計 | |
男 | 22 | ▲ | 30 |
女 | ▲ | 12 | ▲ |
總計 | ▲ | ▲ | 50 |
表1
并邀請這30名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表所示:
成功完成時間(分鐘) | ||||
人數 | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)將表1補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關?
(2)根據表2中的數據,求這30名男生成功完成盲擰的平均時間(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替);附參考公式及數據:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),若以直角坐標系中的原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為(為實數.)
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線與曲線有公共點,求的取值范圍.
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【題目】某醫(yī)療器械公司在全國共有個銷售點,總公司每年會根據每個銷售點的年銷量進行評價分析.規(guī)定每個銷售點的年銷售任務為一萬四千臺器械.根據這個銷售點的年銷量繪制出如下的頻率分布直方圖.
(1)完成年銷售任務的銷售點有多少個?
(2)若用分層抽樣的方法從這個銷售點中抽取容量為的樣本,求該五組,,,,,(單位:千臺)中每組分別應抽取的銷售點數量.
(3)在(2)的條件下,從該樣本中完成年銷售任務的銷售點中隨機選取個,求這兩個銷售點不在同一組的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點,圓:與軸的正半軸的交點是,過點的直線與圓交于不同的兩點.
(1)若直線與軸交于,且,求直線的方程;
(2)設直線,的斜率分別是,,求的值;
(3)設的中點為,點,若,求的面積.
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