Question

【題目】已知，，當，分別在軸，軸上滑動時，點的軌跡記為.

（1）求曲線的方程；

（2）設斜率為的直線與交于，兩點，若，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）k＝±．

【解析】

（1）設M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，列x,y關于m,n的表達式，利用m,n的關系式，即可求解E的方程；（2）設MN：y＝kx＋m，與橢圓聯立求得MN中點橫坐標，利用MN和PQ的中點重合，列方程求解即可

（1）設M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，

由|MN|＝1得m2＋n2＝1．

由＝3得(x，y－m)＝3(n，－m)，

從而x＝3n，y－m＝－3m，

所以n＝，m＝－，

所以曲線E的方程為．

（2）設MN：y＝kx＋m，所以n＝－．①

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

將MN代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，

所以x1＋x2＝．

因為|PN|＝|MQ|，所以MN和PQ的中點重合，

所以＝，②

聯立①②可得k2＝，故k＝±．