【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)函數(shù)與函數(shù)
圖象的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點時,求實數(shù)a的取值集合;
(3)證明:當(dāng)時,函數(shù)
有兩個零點
,
,且滿足
.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為
;(2)
;(3)見解析
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性;(2)先求出公切線的方程,再探討
的取值范圍;(3)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,證明零點個數(shù).再使用函數(shù)思想,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性解決不等式問題.
(1)對求導(dǎo),得
,
令,解得
,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增.
當(dāng),
時,
,
單調(diào)遞減.
(2)設(shè)公切線與函數(shù)
的切點為
,
,則公切線
的斜率
,
公切線的方程為:
,將原點坐標(biāo)
代入,得
,解得
.
公切線的方程為:
,將它與
聯(lián)立,整理得
.
令,對之求導(dǎo)得:
,令
,解得
.
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減,值域為
,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增,值域為
,
由于直線與函數(shù)
相切,即只有一個公共點,因此.
故實數(shù)的取值集合為
.
(3)證明:,要證
有兩個零點,只要證
有兩個零點即可.
(1)
,
即時函數(shù)
的一個零點.
對求導(dǎo)得:
,令
,解得
.當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減.當(dāng)
時,
取最小值,
,
,必定存
在使得二次函數(shù)
,
即.因此在區(qū)間上
必定存在
的一個零點.
綜上所述,有兩個零點,一個是
,另一個在區(qū)間
上.
下面證明.
由上面步驟知有兩個零點,一個是
,另一個在區(qū)間
上.
不妨設(shè),
則
,下面證明
即可.
令,對之求導(dǎo)得
,
故(a)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,
,即
.
證明完畢.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為
,圓
與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M,若
.則該雙曲線的離心率為
A. 2B. 3C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》,是屮國古代數(shù)學(xué)名著,程大位著.書中有如下問題:“今有五人均銀四十兩,甲得十兩四錢,戊得五兩六錢.問:次第均之,乙丙丁各該若干?”意思是:有5人分40兩銀子,甲分10兩4錢,戊分5兩6錢,且相鄰兩項差相等,則乙丙丁各分幾兩幾錢?(注:1兩等于10錢)( )
A.乙分8兩,丙分8兩,丁分8兩B.乙分8兩2錢,丙分8兩,丁分7兩8錢
C.乙分9兩2錢,丙分8兩,丁分6兩8錢D.乙分9兩,丙分8兩,丁分7兩
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示,該地周光照量(小時)都在30小時以上,其中不足50小時的周數(shù)有5周,不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周,超過70小時的周數(shù)有10周.根據(jù)統(tǒng)計,該基地的西紅柿增加量
(百斤)與使用某種液體肥料
(千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖,是否可用線性回歸模型擬合與
的關(guān)系?請計算相關(guān)系數(shù)
并加以說明(精確到0.01).(若
,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)
(2)蔬菜大棚對光照要求較大,某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量限制,并有如下關(guān)系:
周光照量 | |||
光照控制儀最多可運行臺數(shù) | 3 | 2 | 1 |
若某臺光照控制儀運行,則該臺光照控制儀周利潤為3000元;若某臺光照控制儀未運行,則該臺光照控制儀周虧損1000元.若商家安裝了3臺光照控制儀,求商家在過去50周周總利潤的平均值.
附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù)
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線
與曲線
,(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線,
的極坐標(biāo)方程;
(2)在極坐標(biāo)系中,已知與
,
的公共點分別為
,
,
,當(dāng)
時,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐,下廣二丈,高三丈.欲斬末為方亭,令上方六尺.問:斬高幾何?”大致意思是:有一個正四棱錐下底邊長為二丈,高三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺,且正四棱臺的上底邊長為六尺,則截去的正四棱錐的高是多少.如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺的體積,則該正四棱臺的體積是(注:1丈尺)( )
A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,
側(cè)面
,已知
,
,
,點E是棱
的中點.
(1)求證:平面ABC;
(2)在棱CA上是否存在一點M,使得EM與平面所成角的正弦值為
,若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(
為自然對數(shù)的底數(shù))時,求
的最小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若對任意恒成立,求
的取值范圍.
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