【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點時,求實數(shù)a的取值集合;

3)證明:當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點,且滿足.

【答案】1)單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2;(3)見解析

【解析】

1)利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性;(2)先求出公切線的方程,再探討的取值范圍;(3)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,證明零點個數(shù).再使用函數(shù)思想,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性解決不等式問題.

1)對求導(dǎo),得,

,解得,

當(dāng)時,單調(diào)遞增.

當(dāng),時,,單調(diào)遞減.

2)設(shè)公切線與函數(shù)的切點為,,則公切線的斜率,

公切線的方程為:,將原點坐標(biāo)代入,得,解得

公切線的方程為:,將它與聯(lián)立,整理得

,對之求導(dǎo)得:,令,解得

當(dāng)時,單調(diào)遞減,值域為

當(dāng)時,,單調(diào)遞增,值域為

由于直線與函數(shù)相切,即只有一個公共點,因此.

故實數(shù)的取值集合為

3)證明:,要證有兩個零點,只要證有兩個零點即可.1,

時函數(shù)的一個零點.

求導(dǎo)得:,令,解得.當(dāng)時,,單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,單調(diào)遞減.當(dāng)時,取最小值,

,必定存在使得二次函數(shù),

.因此在區(qū)間上必定存在的一個零點.

綜上所述,有兩個零點,一個是,另一個在區(qū)間上.

下面證明

由上面步驟知有兩個零點,一個是,另一個在區(qū)間上.

不妨設(shè),下面證明即可.

,對之求導(dǎo)得,

a)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,,即

證明完畢.

練習(xí)冊系列答案
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周光照量(單位:小時)

光照控制儀最多可運行臺數(shù)

3

2

1

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