已知橢圓C:=1(a>b>0),F(xiàn)為其焦點(diǎn),離心率為e.
(Ⅰ)若拋物線x=y2的準(zhǔn)線經(jīng)過F點(diǎn)且橢圓C經(jīng)過P(2,3),求此時橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過A(0,a)的直線與橢圓C相切于M,交x軸于B,且=,求證:μ+c2=0.
【答案】分析:(Ⅰ)依題意知F(-2,0),即c=2,由橢圓定義知:,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由題意可設(shè)直線的方程為:y=kx+a,根據(jù)過A(0,a)的直線與橢圓相切可得:(a2k2+b2)x2+2a3kx+a2c2=0,由△=4a6k2-4a2c2(a2k2+b2)=0,知,由此入手能夠證明μ+c2=0.
解答:解:(Ⅰ)依題意知F(-2,0),即c=2,(2分)
由橢圓定義知:,(3分)
所以b2=12,
即橢圓C的方程為:.(5分)
(Ⅱ)證明:由題意可設(shè)直線的方程為:y=kx+a
根據(jù)過A(0,a)的直線與橢圓相切
可得:(a2k2+b2)x2+2a3kx+a2c2=0(8分)
△=4a6k2-4a2c2(a2k2+b2)=0⇒a2k2(a2-c2)=c2b2⇒k2=e2(10分)
易知,
設(shè)M(x,y)則由上知(11分)
,,
∴μ+c2=0(13分)
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要靈活地運(yùn)用橢圓的性質(zhì),要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(1,1)與(,)兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|.求證:++為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年陜西省高考數(shù)學(xué)壓軸卷(解析版) 題型:選擇題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過F2線與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)A,并與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)P,Q,如圖,PF1⊥PQ,若A為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年吉林省高考數(shù)學(xué)仿真模擬試卷9(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為,且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn),求e的大�。�
(2)在(1)的條件下,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點(diǎn),過A、B、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x+y+3=0相切,求橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)備考綜合模擬試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為,且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn),求e的大��;
(2)在(1)的條件下,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點(diǎn),過A、B、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x+y+3=0相切,求橢圓方程.

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已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,且在x軸上的頂點(diǎn)分別為

(1)求橢圓方程;

(2)若直線軸交于點(diǎn)T,P為上異于T的任一點(diǎn),直線分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn),試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)?并證明你的結(jié)論.

 

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