精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知數列an，bn，xn滿足a1=b1=2，an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，xn=
an
bn
．
（1）填空：當n≥2時，xn
 
1．（填＞，=，＜中一個）
（2）求證：xn+1與xn中一個比
5
大，另一個比
5
小，并指出xn+1與xn中哪一個更接近于
5
．
（3）若數列{|xn-
5
|}的前n項和為Sn，求證：Sn＜
5
+1．
分析：（1）將xn=
an
bn
中分子an進行代換，再與1比較．
（2）考查xn+1-
5
，xn-
5
兩個式子的積或商的符號為負，即可得證．xn+1與xn中哪一個更接近于
5
，可用與
5
的差的絕對值去衡量，絕對值小，表明更接近．
（3）有（1）（2）的基礎上，進一步應用{|xn-
5
|}的遞推關系，逐項放縮，轉化成特殊數列的和，視情況可再繼續(xù)轉化化簡，直至得證．
解答：解：（1）xn=
an
bn
=
bn+4bn-1
bn
=1+4
bn-1
bn
＞1（n≥2）
（2）∵an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，由x1=
a1
b1
=1，知x2＞1，x3＞1，，xn＞1
∴
an+1
bn+1
=1+
4bn
bn+1
，
bn+1
bn
=
an
bn
+1，即xn+1=1+
4
xn+1
．
xn+1-
5
=
(1-
5
)(xn-
5
)
xn+1
，
xn+1-
5
xn-
5
=
1-
5
xn+1
＜0
所以xn+1與xn中一個比
5
大，一個比
5
小
又∵
|xn+1-
5
|
|xn-
5
|
=
5
-1
|xn+1|
＜
5
-1
2
＜1∴xn+1更接近
5

（3）由（2）知，|xn+1-
5
|＜
5
-1
2
|xn-
5
|＜…＜(
5
-1
2
)n|x1-
5
|
∴Sn＜|x1-
5
|[1+
5
-1
2
+(
5
-1
2
)2+…+(
5
-1
2
)n-1]
=(
5
-1)
1-(
5
-1
2
)n
1-
5
-1
2
＜
2(
5
-1)
3-
5
=
5
+1．
點評：本題考查了比較大小的基本方法，等比數列求和，放縮法證明不等式，要求具有一定的分析解決問題的能力，化簡計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an、bn中，對任何正整數n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若數列an是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列bn是等比數列；
（2）若數列bn是等比數列，數列an是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
（3）若數列an是等差數列，數列bn是等比數列，求證：
n
i=1
1
aibi
＜
3
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an和bn滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實數，n為正整數．
（1）試判斷數列an是否可能為等比數列，并證明你的結論；
（2）求數列bn的通項公式；
（3）設a＞0，Sn為數列bn的前n項和，如果對于任意正整數n，總存在實數λ，使得不等式a＜Sn＜a+1成立，求正數a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an，bn，cn滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
（1）設cn=3n+6，an是公差為3的等差數列．當b1=1時，求b2，b3的值；
（2）設cn=n3，an=n2-8n求正整數k，使得一切n∈N*均有bn≥bk．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an，bn，滿足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（I）求證數列{
1bn
}是等差數列，并求數列an的通項公式；
（II）令Cn=bnbn+1，Sn為數列Cn的前n項和，求證：Sn＜1．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案