Question

對于定義域內的函數(shù)f（x），若存在非零實數(shù)x₀，使函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上均有零點，則稱x₀為函數(shù)f（x）的一個“給力點”．現(xiàn)給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=3^x-1+

1

2

；
②f（x）=2+lg|x-1|；
③f（x）=

x3

3

-x-1；
④f（x）=x²+ax-1（a∈R），則存在“給力點”的函數(shù)是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用

分析：由指數(shù)函數(shù)的值域，即可判斷①；令f（x）=0，解出方程，即可判斷②；
運用導數(shù)，求出單調區(qū)間和極值，可得f（x）與x軸只有一個交點，即可判斷③；
運用二次方程的判別式，即可判斷④．

解答： 解：對于①，f（x）=3^x-1+

1

2

，定義域為R，且f（x）＞

1

2

＞0恒成立，則不存在“給力點”；
對于②，f（x）=2+lg|x-1|，定義域為{x|x≠1，x∈R}，令f（x）=0，則x=1+

1

100

或1-

1

100

，
可令x₀=1，則存在“給力點”；
對于③，f（x）=

x3

3

-x-1，定義域為R，f′（x）=x²-1，在-1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
在x＞1或x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．則x=1處取得極小值-

5

3

，x=-1處取得極大值-

1

3

，
則f（x）與x軸只有一個交點，則不存在“給力點”；
對于④，f（x）=x²+ax-1（a∈R），定義域為R，由于判別式a²+4＞0，則一定存在“給力點”．
綜上可得，②④正確．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的零點的判斷，主要考查新定義的理解和運用，運用解方程、函數(shù)的單調性和值域和導數(shù)是解題的關鍵．