已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2,－2),且圓心在直線l:x－y+1=0上,求圓心為C的圓的標準方程.

 

活動:學生閱讀題目,分析條件,教師指導學生考慮問題的思路.

(1)利用圓的標準方程(x－a)2+(y－b)2=r2,只要能構(gòu)造三個方程求出a、b、r便可.

(2)確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小.

圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-2),由于圓心C與A,B兩點的距離相等,所以圓心C在線段AB的垂直平分線m上,又圓心C在直線l上,因此圓心C是直線l與直線m的交點,半徑長等于|CA|或|CB|.

解法一:設所求的圓的標準方程為(x－a)2+(y－b)2=r2,將點A(1,1)和B(2,－2)代入得

又圓心在l:x－y+1=0上,所以a-b+1=0.聯(lián)立方程組

解得a=-3,b=-2,r=5.

所以所求的圓的標準方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

解法二:因為A(1,1)和B(2,－2),所以線段AB的中點坐標為(,),直線AB的斜率為kAB==－3,故線段AB的垂直平分線方程為y+=(x),即x－3y－3=0.由

解得

因此圓心C的坐標為(-3,-2),半徑r=|AC|==5,所以所求的圓的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

點評:比較解法一與解法二,不難看出解法二直接明了,思路明確,易于理解,而解法一則籠統(tǒng),較繁.

圓的幾何性質(zhì)的運用使圓的方程的求解運算簡單、方便、快捷,這也是解析幾何中以形助數(shù)的精髓,在以后的解題中要注意應用.


練習冊系列答案
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已知圓心為C的圓經(jīng)過點A（1，4），B（3，6），且圓心C在直線4x-3y=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線l：y=x+m（m為正實數(shù)），若直線l截圓C所得的弦長為
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，求實數(shù)m的值．
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已知圓心為C的圓經(jīng)過點A（4，1）和B（0，-3），且圓心C在直線l：2x-y-5=0上．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若過點P（4，-8）直線l與圓C交點M、N兩點，且|MN|=4，求直線l的方程．

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