Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；

（2）先求解導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)情況判斷函數(shù)極值點(diǎn)的情況.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，．∵=x22x+1=（x1）2≥0，

故函數(shù)在R內(nèi)為增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．

（2）∵=x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（xa2）[x（a+2）]，

①當(dāng)a=1或a=2時(shí)，a2=a+2，∵≥0恒成立，函數(shù)為增函數(shù)，無(wú)極值；

②當(dāng)a＜1或a＞2時(shí)，a2＞a+2，

可得當(dāng)x∈（∞，a+2）時(shí)，＞0，函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（a+2，a2）時(shí)，＜0，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)x∈（a2，+∞）時(shí)，＞0，函數(shù)為增函數(shù)．

當(dāng)x=a+2時(shí)，函數(shù)有極大值f（a+2），當(dāng)x=a2時(shí)，函數(shù)有極小值f（a2）．

③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，a2＜a+2．

可得當(dāng)x∈（-∞，a2）時(shí)，＞0，函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（a2，a+2）時(shí)，＜0，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)x∈（a+2，+∞）時(shí)，＞0，函數(shù)為增函數(shù)．

當(dāng)x=a+2時(shí)，函數(shù)有極小值f（a+2）；當(dāng)x=a2時(shí)，函數(shù)有極大值f（a2）．

綜上可得：當(dāng)a=1或a=2時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a＜1或a＞2時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)a+2，函數(shù)有極小值點(diǎn)a2；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)a2，函數(shù)有極小值點(diǎn)a+2.