Question

已知點M，N的坐標分別是（0，2）和（0，-2），點P是二次函數y=

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x2的圖象上的一個動點．
（1）判斷以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-2的位置關系，并說明理由；
（2）設直線PM與二次函數y=

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8

x2的圖象的另一個交點為Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM；
（3）過點P，Q分別作直線y=-2的垂線，垂足分別為H，R，取QH中點為E，求證：QE⊥PE．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先假設出P點坐標，進而表示出PM的長和點P到直線y=-2的距離，進而比較得出直線與圓的位置關系．
（2）根據（1）中所求得出PH=PM，進而得出PH∥MN∥QR，則Rt△PHN∽Rt△QRN，即可得出∠HNP=∠RNQ，求出即可．
（3）取PQ中點F，連接EF，EF=

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2

(QR+PH)，由PH=PM，QM=QR，則EF=

1

2

(QM+PM)=

1

2

QP，利用三角形一邊上的中線等于這邊的一半，此三角形是直角三角形，即可得出答案．

解答： （1）解：設點P的坐標為(x0，

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x02)，
則PM=

x02+( 1 8 x02-2)2

=

( 1 8 x02+2)2

=

1

8

x02+2，
而點P到直線y=-2的距離為

1

8

x02-(-2)=

1

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x02+2，
∴以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-2相切．
（2）證明：由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
∵PH，MN，QR都垂直于直線y=-2，
∴PH∥MN∥QR，
∴

QM

RN

=

MP

NH

，即

QR

RN

=

PH

HN

，
∴Rt△PHN∽Rt△QRN，
∴∠HNP=∠RNQ，
∴∠PNM=∠QNM．
（3）證明：取PQ中點F，連接EF，
則EF=

1

2

(QR+PH)．
又由上知，PH=PM，QM=QR，
所以EF=

1

2

(QM+PM)=

1

2

QP
即∠QEP=90°，
故QE⊥PE．

點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及相似三角形的判定與性質以及直角三角形的判定等知識，利用數形結合作出輔助線再根據直角三角形的判定得出是解題關鍵．