Question

如圖，已知正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為2，高為，P為棱SC的中點．

（1）求直線AP與平面SBC所成角的正弦值；

（2）求兩面角B﹣SC﹣D大小的余弦值；

（3）在正方形ABCD內是否有一點Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的長；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

解：（1）設正方形ABCD的中心為O，如圖建立空間直角坐標系，

則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），

D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），

∵P是SC的中點，∴P（﹣，，）．…（2分）

，設平面SBC的法向量=（x₁，y₁，z₁），

則，即，取=（0，，1），

∴cos＜＞==，…（4分）

故直線AP與平面SBC所成角的正弦值為．…（6分）

（2）設平面SDC的法向量=（x₂，y₂，z₂），則

，即，取=（﹣，0，1），

∴cos＜，＞==，…（9分）

又二面角B﹣SC﹣D為鈍角二面角，

故二面角B﹣SC﹣D大小的余弦值為﹣．…（11分）

（3）設Q（x，y，0），則，…（12分）

若PQ⊥平面SDC，則∥，

∴，解得，…（15分）

但＞1，點Q不在正方形ABCD內，故不存在滿足條件的點Q．…（16分）