Question

已知△ABC中，2sinA-sinC=cosC•tanB．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）設(shè)向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），當(dāng)

m

•

n

取最小值時，求tan（A-B+

π

12

）的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）將已知中的“切”化“弦”，逆用兩角和的正弦及誘導(dǎo)公式可求得cosB=

1

2

，從而可知角B的大��；
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積公式得到關(guān)于cosA的二次函數(shù)，配方得到當(dāng)

m

•

n

取最小值時的cosA，從而求出tanA，繼續(xù)利用兩角差的正切公式求解．

解答： 解：（I）∵2sinA-sinC=cosCtan B，
∴2sinAcosB=sinCcosB+coCsinB，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵0＜b＜π，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）∵向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），

m

•

n

=-

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

．
∴當(dāng)cosA=

3

5

時，

m

•

n

取得最小值，此時sinA=

4

5

（0＜a＜π），于是tanA=

4

3

，
∴tan（A+

π

12

-B）=tan（A-

π

4

）=

tanA-1

tanA+1

=

1

7

．

點評：本題考查了三角恒等變形與向量的數(shù)量積的運算以及二次函數(shù)相結(jié)合的問題，屬于中檔題．