Question

建造一個(gè)容積為8 m³.深為2 m的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)分別為120 元/m²和80元/m².

(1)求總造價(jià)關(guān)于一邊長(zhǎng)的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;

(2)判斷(1)中函數(shù)在(0,2)和［2,+∞)上的單調(diào)性并用定義法加以證明;

(3)如何設(shè)計(jì)水池尺寸,才能使總造價(jià)最低.

Answer 1

解析:(1)設(shè)一邊長(zhǎng)為x,則由該水池容積為8,得另一邊長(zhǎng)為,?

總造價(jià)y=120·x·+80·(2··2+2·2x)?

=480+320·(+x),x∈(0,+∞).?

(2)任取x₁,x₂∈(0,2)且x₁＜x₂,則?

f(x₁)-f(x₂)=480+320·(+x₁)-480-320·(+x₂)

=320(+x₁--x₂)

=320［+(x₁-x₂)］

=320(x₁-x₂)(1-).

∵x₁,x₂∈(0,2),x₁＜x₂,?

∴＞1,x₁-x₂＜0.?

∴f(x₁)-f(x₂)＜0.?

∴f(x₁)＜f(x₂).?

∴y=480+320(+x)在(0,2)上是增函數(shù).?

同理可證,y=480+320(+x)在［2,+∞)上是減函數(shù).?

(3)當(dāng)x=2時(shí),y=480+320(+x)最小,此時(shí)造價(jià)最低.?

此時(shí)=2,當(dāng)此水池為邊長(zhǎng)是2 m的正方體時(shí),造價(jià)最低.

答案:(1)y=480+320(x+),x∈(0,+∞);?

(2)單調(diào)性略;?

(3)當(dāng)x=2時(shí),費(fèi)用最低.