已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)求過(guò)點(diǎn)P(3,
5
-2)
且與圓C相切的直線;
(Ⅱ)是否存在斜率為1的直線m,使得以m被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線m的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)先判斷點(diǎn)P(3,
5
-2)
在圓C上,求出切線的斜率,再用點(diǎn)斜式求得相切方程,再化為一般式.
(Ⅱ)設(shè)這樣的直線存在,其方程為y=x+b,代入圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2,x1•x2的值,進(jìn)而求得y1•y2的值.根據(jù)OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,求得b=1,或b=-4,從而得出結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)?span id="1jgr99d" class="MathJye">32+(
5
-2)2-2×3+4(
5
-2)-4=0,所以,點(diǎn)P在圓上.   …(2分)
又因?yàn)閳A心C(1,-2)所以 kCP=
5
2
,…(3分)
所以切線斜率k=-
2
5
=
-2
5
5
,…(4分)
所以方程為y-(
5
-2)=-
2
5
5
(x-3)
,即2x+
5
y-11+2
5
=0
.…(6分)
(Ⅱ)設(shè)這樣的直線存在,其方程為y=x+b,它與圓C的交點(diǎn)設(shè)為A(x1,y1)、B(x2,y2),
則由
x2+y2-2x+4y-4=0
y=x+b
 可得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0(*),…(7分)
x1+x2=-(b+1)
x1x2=
b2+4b-4
2
.…(9分)
∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.…(10分)
由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0
即b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,b2+3b-4=0,∴b=1,或b=-4.…(12分)
容易驗(yàn)證b=1或b=-4時(shí)方程(*)有實(shí)根.
故存在這樣的直線,有兩條,其方程是y=x+1,或y=x-4.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查求圓的切線方程,直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.
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已知圓C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則適合上述條件雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 

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(1)一個(gè)圓與x軸相切,圓心在直線3x-y=0上,且被直線x-y=0所截得的弦長(zhǎng)為2
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,求此圓方程.
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(2009•普陀區(qū)一模)如圖,已知圓C:x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A.由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k,且k為有理數(shù).射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B.
(1)當(dāng)r=1時(shí),試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)r=1時(shí),試證明:點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn);(說(shuō)明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道,一個(gè)有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時(shí),是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡(jiǎn)述你的理由.

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x
a
y
b
=1
與圓C有公共點(diǎn),且公共點(diǎn)都為整點(diǎn)(整點(diǎn)是指橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)),那么直線l共有(  )

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