如圖，在三棱柱中，側面底面ABC，，，且為AC中點。

證明：平面ABC；

求直線與平面所成角的正弦值；

在上是否存在一點E，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置。

（Ⅰ）見解析    （Ⅱ）  （Ⅲ）存在這樣的點E，E為的中點


解析:

（Ⅰ）證明：因為，且O為AC的中點，

         所以.                                 ………………1分

         又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，

         所以平面.                                ………………4分

（Ⅱ）如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.

由題意可知，又

所以得:

則有：       ………………6分

     設平面的一個法向量為，則有

         ，令，得

      所以.                      ………………7分

      .                ………………9分

      因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，

所以.               ………………10分

（Ⅲ）設                        ………………11分

即，得

所以得      ………………12分

      令平面，得 ，                 ………………13分

      即得即存在這樣的點E，E為的中點.    …14分

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