Question

如圖，過(guò)曲線(xiàn)C：y=e^x上一點(diǎn)P₀(0，1)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l2交x軸于點(diǎn)Q₁(x₁，0)，又x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)P₁(x₁，y₁)，然后再過(guò)P₁(x₁，y₁)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l₁交x軸于點(diǎn)Q₂(x₂，0)，又過(guò)Q₂作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)P₂ (x₂，y₂)，……，以此類(lèi)推，過(guò)點(diǎn)P_n的切線(xiàn)l_n與x軸相交于點(diǎn)Q_n+1(x_n+1，0)，再過(guò)點(diǎn)Q_n+1作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)P_n+1(x_n+1，y_n+1)(n∈N*)，
(1)求x₁、x₂及數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)曲線(xiàn)C與切線(xiàn)l_n及直線(xiàn)PQ所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達(dá)式；
(3)在滿(mǎn)足(2)的條件下，若數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：。

Answer 1

(1)解：由y′=e^x，設(shè)直線(xiàn)l_n的斜率為k_n，則，
∴直線(xiàn)l_n的方程為y=x+1，
令y=0，得x₁=-1，，
∴，∴，
∴直線(xiàn)l₁的方程為，
令y=0，得x₂=-2，
一般地，直線(xiàn)l_n的方程為，
由于點(diǎn)在直線(xiàn)l_n上，∴，
∴數(shù)列{x_n}是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
∴。
(2)解：；
(3)證明：，
∴，，
要證明，
只要證明，
即只要證明，，

，
∴不等式對(duì)一切n∈N*都成立．