Question

選修4-4：極坐標與參數方程選講：在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=-2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t為參數），以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系下，圓C的極坐標方程為ρ=-2cosθ+2

3

sinθ
（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
（2）設點P的直角坐標為（-2，

3

），直線l與圓C相交于兩點A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）根據直線的參數方程，消去參數得到普通方程，借助于極坐標方程和直角坐標方程的互化公式進行化簡即可；
（2）首先，聯立方程組，得到4x²+2x-3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=-

3

4

，然后，結合兩點間的距離公式進行求解即可．

解答： 解：（1）根據直線l的參數方程為

x=-2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t為參數），
得

3

x-y+

3

=0，
根據圓C的極坐標方程為ρ=-2cosθ+2

3

sinθ，得
x²+y²=-2x+2

3

y，
∴（x+1）²+（y-

3

）²=4，
（2）聯立方程組

3 x-y+ 3 =0 (x+1)2+(y- 3 )2=4

，得
4x²+2x-3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=-

3

4

，
∴|PA|•|PB|=

(x1+2)2+(y1- 3 )2

•

(x2+2)2+(y2- 3 )2

=

4x12+2x1-3+2x1+7

•

4x22+2x2-3+2x2+7

=

2x1+7

•

2x2+7

=

4x1x2+14(x1+x2)+49

=

4×(- 3 4 )+14×(- 1 2 )+49

=

39

．
∴|PA|•|PB|=

39

．

點評：本題重點考查了直線的參數方程和普通方程的互化、極坐標方程和直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．