已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx+m-1，當x=-1時取得極值，且函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐標原點，A點是x軸上橫坐標為2的點，B點是曲線數(shù)學公式上但不在x軸上的動點，求△AOB面積的最大值．

解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x2+2mx+n…（1分）
由已知得，∴．
故f（x）=x3+x2-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x2+2x-1=（x+1）（3x-1）
∴f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù) …（7分）
要使△OAB的面積最大，由O、A兩點在x軸上且|OA|=2知，只需在上，|f（xB）|的值最大，
由f（x）在區(qū)間上的單調性知，只有當或時，|f（xB）|的值最大…（9分）
而…（10分）
故當時，△OAB的面積最大，且最大值為…（12分）
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為4，建立方程組，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，要使△OAB的面積最大，由O、A兩點在x軸上且|OA|=2知，只需在上，|f（xB）|的值最大，由此可求△AOB面積的最大值．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是正確求導數(shù)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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