Question

已知函數f（x）=log_a（ax²-2x+3），（a＞0，a≠1）
（1）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）在[

1

2

，2]上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）的值域是R，則y=ax²-2x+3取遍所有大于0的值，然后利用二次函數性質，列出不等關系，轉化成恒成立問題，求解即可得到a的取值范圍；
（2）原函數f（x）=log_a（ax²-2x+3）是函數y=log_aμ與μ=ax²-2x+3的復合函數，利用對數函數與二次函數的單調性來研究即可，注意對數的真數必須大于0．

解答：解：（1）∵函數f（x）=log_a（ax²-2x+3），且f（x）的值域為R，
根據對數的性質，可知當y=ax²-2x+3取遍所有大于0的值時，f（x）的值域為R，
∵a＞0，則y=ax²-2x+3的圖象開口向上，
∴△=（-2）²-4×3×a≥0，即a≤

1

3

，
又a＞0，
∴0＜a≤

1

3

，
故a的取值范圍為0＜a≤

1

3

；
（2）∵函數f（x）=log_a（ax²-2x+3），
∴原函數f（x）=log_a（ax²-2x+3）是函數y=log_aμ與μ=ax²-2x+3的復合函數，
①當0＜a＜1時，μ=log_ax在（0，+∞）上是減函數，
根據復合函數的單調性，可得函數μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是減函數，
函數μ=ax²-2x+3的對稱軸為x=-

-2

2a

，根據二次函數的性質，
∴-

-2

2a

≥2，解得a≤

1

2

，
根據對數的性質，可得函數μ=ax²-2x+3＞0在[

1

2

，2]上恒成立，即μ_min＞0，
∵函數μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是減函數，則當x=2時，μ_min=4a-1，
∴4a-1＞0，解得a＞

1

4

，
∴a的取值范圍為

1

4

＜a≤

1

2

；
②當a＞1時，μ=log_ax在（0，+∞）上是增函數，
根據復合函數的單調性，可得函數μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是增函數，
函數μ=ax²-2x+3的對稱軸為x=-

-2

2a

，根據二次函數的性質，
∴-

-2

2a

≤

1

2

，解得a≤2，
根據對數的性質，可得函數μ=ax²-2x+3＞0在[

1

2

，2]上恒成立，即μ_min＞0，
∵函數μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是增函數，則當x=

1

2

時，μ_min=

1

4

a+2，
∴

1

4

a+2＞0，解得a＞-8，
綜上得，a的取值范圍為1＜a≤2．
綜合①②，a的取值范圍為

1

4

＜a≤

1

2

或1＜a≤2．

點評：本題考查了復合函數的單調性，以及函數的值域問題．涉及了對數函數以及二次函數的性質，對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．對于對數函數，如果底數a的值不確定范圍，則需要對底數a進行分類討論，便于研究指數函數的圖象和性質．屬于中檔題．