Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF
（Ⅱ）求PD與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)M，由三角形的中位線定理，結(jié)合已知條件，易證明四邊形MEBF是平行四邊形，且BE∥MF，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，垂直于AD、AP的方向?yàn)閤軸，AD，AP的方向?yàn)閥軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PD與平面PAB所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取PD的中點(diǎn)M，
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴ME是△PCD的中位線，
∴ME∥FB，
∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF，
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，垂直于AD、AP的方向?yàn)閤軸，AD，AP的方向?yàn)閥軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（

3

，1，0），
∴

PD

=（0，2，-2），

PA

=（0，0，-2），

PB

=(

3

，1，-2)，
設(shè)平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PA =-2z=0 n • PB = 3 x+y-2z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，-3，0），
設(shè)PD與平面PAB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

PD

＞|=|

2×(-3)

4+4 • 3+9

|=

6

4

．
∴PD與平面PAB所成角的正弦值為

6

4

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．