Question

（2012•濟(jì)寧一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以橢圓C的短軸為直徑的圓的方程為x²+y²=1．
（I）求橢圓C的方程；
（II）圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的離心率即橢圓的短軸長，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）分類討論，設(shè)出直線方程，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面積的最大值．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以橢圓C的短軸為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∴a²=b²+c²
∴c=1，a=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b是圓的一條切線，則

|b|

1+k2

=1，∴|b|=

1+k2

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線l方程代入橢圓方程，整理可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
∴x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2-2

1+2k2

∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8k4+8k2 4k4+4k2+1

令t=4k⁴+4k²+1，則t＞0，|AB|=

2(t-1) t

=

2- 1 t

＜

2

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為x=1，則y=±

2

2

∴|AB|=

2

∴|AB|_max=

2

∵S△AOB=

1

2

|AB|•1
∴△AOB面積的最大值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．