Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n²-a_n-a_n+1+1=0，a₁=2
（1）求a₂，a₃；
（2）證明數(shù)列為遞增數(shù)列；
 （3）求證：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}$＜1．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，${a_{n+1}}={a_n}^2-{a_n}+1$，分別令n=1，2，即可得出a₂，a₃．
（2）作差即可證明：a_n+1-a_n＞0．
（3）${a_{n+1}}-1={a_n}^2-{a_n}$$⇒\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{1}{{{a_n}^2-{a_n}}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{a_n}$$⇒\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）解：∵a₁=2，${a_{n+1}}={a_n}^2-{a_n}+1$，∴a₂=2²-2+1=3，同理可得：a₃=7．
（2）證明：${a_{n+1}}-{a_n}={a_n}^2-2{a_n}+1={（{{a_n}-1}）^2}＞0$，對n∈N^*恒成立，
∴a_n+1＞a_n．
（3）證明：${a_{n+1}}-1={a_n}^2-{a_n}$$⇒\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{1}{{{a_n}^2-{a_n}}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{a_n}$$⇒\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$
故$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}=（{\frac{1}{{{a_1}-1}}-\frac{1}{{{a_2}-1}}}）+（{\frac{1}{{{a_2}-1}}-\frac{1}{{{a_3}-1}}}）+…+（{\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}}）$=$\frac{1}{{{a_1}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}＜1$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．