已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程
(2)若對任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)a=1時,求f(x)的導函數(shù),計算曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率k,寫出該點處的切線方程;
(2)由題意設(shè)g(x)=f(x)+2x,(x>0),g(x)應(yīng)是增函數(shù),即g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,求出a的取值范圍.
解答:解:(1)a=1時,f(x)=x2-3x+lnx,f(1)=-2,
f′(x)=2x-3+
1
x
,
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率k=f'(1)=0;
所以在點(1,f(1))處的切線方程為 y=-2;
(2)令g(x)=f(x)+2x=ax2-ax+lnx,(x>0);
由題意知g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以g'(x)=2ax-a+
1
x
≥0在(0,+∞)上恒成立,即2ax2-ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立;
令h(x)=2ax2-ax+1,(x>0);
則①若a=0,h(x)=1≥0恒成立,
②若a<0,二次函數(shù)h(x)≥0不恒成立,舍去
③若a>0,二次函數(shù)h(x)≥0恒成立,只需滿足最小值h(
1
4
)≥0
,即
a
8
-
a
4
+1≥0
,解得0<a≤8;
綜上,a的取值范圍是[0,8].
點評:本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)圖象上過某點切線方程的斜率以及應(yīng)用導數(shù)判定函數(shù)的增減性問題,是中檔題.
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34
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