如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的頂點為A1,A2,B1,B2,焦點為F1,F(xiàn)2,|A1B2|=
7
,S?A1B1A2B2=2S ?B1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線m過Q(1,1),且與橢圓相交于M,N兩點,當Q是MN的中點時,求直線m的方程.
(Ⅲ)設n為過原點的直線,l是與n垂直相交于P點且與橢圓相交于兩點A,B的直線,|
OP
|=1
,是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過原點?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(Ⅰ)由題意可知a2+b2=7,a=2c,由此能夠求出橢圓C的方程;
(Ⅱ)分類討論,當直線m的斜率存在時,設直線m的方程為y=k(x-1)+1,利用點差法,結合Q是MN的中點,即可求直線m的方程;
(Ⅲ)設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),假設使以AB為直徑的圓過原點成立的直線l存在,則以AB為直徑的圓過原點,∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.
(i)當l不垂直于x軸時,根據(jù)題設條件能夠推出直線l不存在.
(ii)當l垂直于x軸時,滿足|
OP
|=1
的直線l的方程為x=1或x=-1,由A、B兩點的坐標為(1,
3
2
),(1,-
3
2
)或(-1,
3
2
),(-1,-
3
2
).當x=1時
OA
OB
=(1,
3
2
)•(1,-
3
2
)=-
5
4
≠0.當x=-1時,
OA
OB
=(-1,
3
2
)•(-1,-
3
2
)=-
5
4
≠0.所以此時直線l也不存在.
解答: 解:(Ⅰ)依題意有|A1B2|=
a2+b2
=
7,
∴a2+b2=7…(1分)
又由SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2.有2a•b=2•2c•b,∴a=2c…(2分)
解得a2=4,b2=3,…(3分),
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.…(4分)
(Ⅱ)當直線m的斜率存在時,設直線m的方程為y=k(x-1)+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1
,
兩式相減得:k=
y1-y2
x1-x2
=-
3
4
×
x1+x2
y1+y2

∵Q是MN的中點,
∴可得直線m的斜率為k=
y1-y2
x1-x2
=-
3
4
,(7分)
當直線m的斜率不存在時,將x=1代入橢圓方程并解得M(1,
3
2
)
,N(1,-
3
2
)
,
這時MN的中點為(1,0),
∴x=1不符合題設要求.…(8分)
綜上,直線m的方程為3x+4y-7=0…(9分)
(Ⅲ)設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),假設滿足題設的直線l存在,
(i)當l不垂直于x軸時,設l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點且|
OP
|=1
|m|
1+k2
=1
,即m2=k2+1,…(10分)
又∵以AB為直徑的圓過原點,∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.
將y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,
由求根公式可得x1+x2=
-8km
3+4k2
,④x1x2=
4m2-12
3+4k2
.⑤
0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,
將④,⑤代入上式并化簡得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,⑥
將m2=1+k2代入⑥并化簡得-5(k2+1)=0,矛盾.
即此時直線l不存在.…(12分)
(ii)當l垂直于x軸時,滿足|
OP
|=1
的直線l的方程為x=1或x=-1,
由A、B兩點的坐標為(1,
3
2
),(1,-
3
2
)或(-1,
3
2
),(-1,-
3
2
).
當x=1時,
OA
OB
=(1,
3
2
)•(1,-
3
2
)=-
5
4
≠0,
當x=-1時,
OA
OB
=(-1,
3
2
)•(-1,-
3
2
)=-
5
4
≠0.
∴此時直線l也不存在.
綜上所述,使
OA
OB
=0成立的直線l不成立,即不存在直線l使以AB為直徑的圓過原點.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線和橢圓的位置關系,考查向量知識的運用,考查分類討論的數(shù)學思想,有難度.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的離心率
(2)若直線l與此橢圓相交于A,B兩點,且AB中點M為(-2,1),|AB|=4
3
,求直線l的方程和橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

根據(jù)三個函數(shù)f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x給出以下五句話:
(1)f(x),g(x),h(x)在其定義域上都是增函數(shù);
(2)f(x)的增長速度始終不變;
(3)f(x)的增長速度越來越快;
(4)g(x)的增長速度越來越快;
(5)h(x)的增長速度越來越慢.
其中正確的個數(shù)為( 。
A、2B、3C、4D、5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)為R上的可導函數(shù),且?x∈R,均有f(x)>f′(x),則以下判斷正確的是(  )
A、f(2013)>e2013f(0)
B、f(2013)<e2013f(0)
C、f(2013)=e2013f(0)
D、f(2013)與e2013f(0)大小無法確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin(x-
π
6
)sin(x+
π
3
),x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,若A=
π
4
,銳角C滿足f(
C
2
+
π
6
)=
1
2
,求
BC
AB
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex+ax(a∈R),g(x)=exlnx(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)設曲線y=f(x)在x=1處的切線為l,點(1,0)到直線l的距離為
2
2
,求a的值;
(Ⅱ)若對于任意實數(shù)x≥0,f(x)>0恒成立,試確定實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當a=-1時,函數(shù)M(x)=g(x)-f(x)在[1,e]上是否存在極值?若存在,求出極值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角,其對邊分別為a、b、c,若
m
=(cosB,sinB)
,
n
=(cosC,-sinC)
,且
m
n
=
1
2

(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=2
3
, b+c=4
,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
2
2
,A1,A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點,點F是橢圓C的右焦點.點D是x軸上位于A2右側的一點,且滿足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2

(1)求橢圓C的方程以及點D的坐標;
(2)過點D作x軸的垂線n,再作直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點P,直線l交直線n于點Q.求證:以線段PQ為直徑的圓恒過定點,并求出定點的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2.橢圓上兩點A、B滿足:△ABF2的周長為8,點F1在邊AB上,cos∠ABF2=
3
5
,|BF2|=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)若點P為橢圓的右頂點,直線l:y=kx+m與橢圓C交于兩點M,N(M,N不是左右頂點),且
PM
PN
.試說明:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案