Question

已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，點(diǎn)O是△ABC的外心，且

AO

=λ

AB

+μ

AC

，則λ+μ=

37

18

．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求λ和μ的值．

解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （3，0），C（-1，

3

），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線 m：x=

3

2

上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點(diǎn)（-

1

2

，

3

2

），AC的斜率為tan120°=-

3

，
∴中垂線n的方程為 y-

3

2

=

3

3

（x+

1

2

）．
把直線 m和n 的方程聯(lián)立方程組

x= 3 2 y- 3 2 = 3 3 (x+ 1 2 )

，
解得△ABC的外心O（

3

2

，

7 3

6

），
由條件

AO

=λ

AB

+μ

AC

，
得（

3

2

，

7 3

6

）=λ（3，0）+μ（-1，

3

）=（3λ-μ，

3

μ），
∴

3λ-μ= 3 2 3 μ= 7 3 6

，解得λ=

8

9

，μ=

7

6

，
∴λ+μ=

37

18

．
故答案為：

37

18

．

點(diǎn)評：本題考查求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．