Question

已知函數(shù)上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）當m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)上為增函數(shù)，
∴g′（x）=-+≥0在[1，+∞）上恒成立，
≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使xsinθ-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需1×sinθ-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=．
（2）f（x）的定義域為（0，+∞）．
當m=0時，f（x）=，f′（x）=，
當0＜x＜2e-1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x＞2e-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的增區(qū)間是（0，2e-1），減區(qū)間是（2e-1，+∞），當x=2e-1時，f（x）取得極大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx--2lnx，
①當m≤0時，x∈[1，e]，mx-≤0，-2lnx-＜0，
∴在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②當m＞0時，F(xiàn)′（x）=m+-=，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x） max=F（e）=me--4，
只要me--4＞0，解得m＞．
故m的取值范圍是（，+∞）
分析：（1）由函數(shù)上為增函數(shù)，得g′（x）=-+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．
（2）當m=0時，求出f（x）、f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到單調(diào)區(qū)間，由極值定義可得極值；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx--2lnx，分m≤0，m＞0兩種情況進行討論，由題意知，只要在[1，e]上F（x） max＞0即可；
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．