Question

設(shè)0＜θ＜2π，且方程2sin（θ+

π

3

）=m有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則這兩個實(shí)根的和為

π

3

或

7π

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，求出y=2sin（θ+

π

3

）的圖象關(guān)于直線θ=

π

6

+kπ（k∈Z）對稱．結(jié)合題意得方程的兩個根
關(guān)于θ=

π

6

對稱或關(guān)于θ=

7π

6

對稱，由此即可得出這兩個實(shí)根的和．

解答：解：令θ+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得θ=

π

6

+kπ（k∈Z），
∴y=2sin（θ+

π

3

）的圖象關(guān)于直線θ=

π

6

+kπ（k∈Z）對稱
∵0＜θ＜2π，
∴方程2sin（θ+

π

3

）=m有兩個不同的實(shí)數(shù)根時，這兩個根關(guān)于θ=

π

6

對稱，或關(guān)于θ=

7π

6

對稱
因此，設(shè)兩個根為α、β，可得α+β=

π

3

或α+β=

7π

3

故答案為：

π

3

或

7π

3

點(diǎn)評：本題給出三角方程，求方程在（0，2π）兩個實(shí)數(shù)根的和．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)圖象的對稱性等知識，屬于基礎(chǔ)題．