Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于P、Q兩點(diǎn)，且

1

a2

+

1

b2

=2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求

OP

•

OQ

的值；
（2）若橢圓長軸的取值范圍為[

5

，

6

]，求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P，Q橫縱坐標(biāo)的和與積，代入數(shù)量積的坐標(biāo)表示得答案；
（2）由

1

a2

+

1

b2

=2把b用含有a的代數(shù)式表示，再把橢圓的離心率用含有a的代數(shù)式表示，根據(jù)a的范圍求得橢圓的離心率e的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x+y=1

，
得(

1

a2

+

1

b2

)x2-

2

b2

x+

1

b2

-1=0，
又

1

a2

+

1

b2

=2，
故2x2-

2

b2

x+

1

b2

-1=0．
由韋達(dá)定理得x1+x2=

1

b2

，x1x2=

1

2b2

-

1

2

．

.

OP

•

.

OQ

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2(

1

2b2

-

1

2

)-

1

b2

+1=0；
（2）由

1

a2

+

1

b2

=2，得b2=

a2

2a2-1

，
∴e2=1-

b2

a2

=1-

1

2a2-1

，
又2a∈[

5

，

6

]，
故e2∈[

1

3

，

1

2

]
又0＜e＜1，故

3

3

≤e≤

2

2

．

點(diǎn)評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了利用根與系數(shù)關(guān)系求解平面向量的數(shù)量積，考查了橢圓離心率范圍的求法，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．