Question

已知函數．
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性并證明；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數．（2分）
證明如下：
設x₁、x₂是區(qū)間（0，+∞）上任意兩個實數，且x₁＜x₂，則（1分）f（x₁）-f（x₂）==（3分）
∵x₂＞x₁＞0
∴x₁+x₂＞0、x₂-x₁＞0、（x₁x₂）²＞0（1分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數．（1分）
（2）由（1）知函數f（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數，（1分）
所以當x=1時，取最大值，最大值為f（1）=2
當x=3時，取最小值，最小值為（3分）
分析：（1）函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數，然后設x₁、x₂是區(qū)間（0，+∞）上任意兩個實數，且x₁＜x₂，最后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，得到結論；
（2）利用函數在區(qū)間[1，3]上的單調性可求出函數最大值和最小值．
點評：本題考查求函數單調性判斷和證明，屬基本題型、基本方法的考查，難度不大．解答關鍵是化簡變形．