Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC 上的點(diǎn)，且EB=FB=1．
（1）求異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值；
（2）試在面A₁B₁C₁D₁ 上確定一點(diǎn)G，使DG⊥平面D₁EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，把兩條直線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出來，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角表示出異面直線的夾角．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可設(shè)G（x，y，2）．根據(jù)線面垂直，則直線的方向向量與平面內(nèi)任一線段對(duì)應(yīng)的向量均垂直，可構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組，解方程組可得G點(diǎn)位置．
解答：解：（1）以D為原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則有D₁（0，0，2），C₁（0，4，2），E（3，3，0），F(xiàn)（2，4，0），
于是=（-3，1，2），=（-2，-4，2），
設(shè)設(shè)EC₁與FD₁所成角為β，
則cosβ==．
∴異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值為．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可設(shè)G（x，y，2）．
=（x，y，2），=（-2，-4，2），=（-1，1，0）．
由得
解得
故當(dāng)點(diǎn)G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，
且到A₁d₁，C₁D₁ 距離均為時(shí)，DG⊥平面D₁EF
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，異面直線的夾角，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．