解:(1)∵f(x)=ln(2+3x)-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
x
2,∴函數(shù)y=f(x)的定義域為(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228363.png)
).
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228364.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228365.png)
,得x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,
當x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/50498.png)
時,f
′(x)>0,當x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/969.png)
時,f
′(x)<0.
∴y=f(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228366.png)
上為增函數(shù),在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6385.png)
上為減函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的極大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228367.png)
.
(2)由g(x)=f(x)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
x
2+(m-1)x,
得g(x)=ln(2+3x)+(m-1)x (x>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/931.png)
),
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228368.png)
.
①當m-1=0,即m=1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228369.png)
,∴g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/99010.png)
上為增函數(shù);
②當m-1≠0,即m≠1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228370.png)
.
由g
′(x)=0,得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228371.png)
,∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228372.png)
,
∴1°若m>1,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228373.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228374.png)
,∴x>-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
時,g
′(x)>0,∴g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/99010.png)
上為增函數(shù);
2°若m<1,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228375.png)
,∴當x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228376.png)
時,g
′(x)>0;當x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228377.png)
時,
g
′(x)<0,∴g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228378.png)
上為增函數(shù),在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228379.png)
上為減函數(shù).
綜上可知,當m≥1時,g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/99010.png)
上為增函數(shù);
當m<1時,g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228378.png)
上為增函數(shù),在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228379.png)
上為減函數(shù).
(3)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228380.png)
,
由|a-lnx|+ln[f
′(x)+3x]>0,得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228381.png)
,
∵x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/145580.png)
,∴0≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228382.png)
,而|a-lnx|≥0,
∴要對任意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/104285.png)
,不等式|a-lnx|+ln[f
′(x)+3x]>0均成立,
須
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228383.png)
與|a-lnx|不同時為0.
因當且僅當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4414.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228383.png)
=0,所以為滿足題意必有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228384.png)
,即a≠
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228385.png)
.
故對任意x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/145580.png)
,不等式|a-lnx|+ln[f′(x)+3x]>0均成立的實數(shù)a的取值范圍是{a|a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228386.png)
}.
分析:(1)求出函數(shù)的導函數(shù),由導函數(shù)的零點把定義域分段,判斷出函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性,從而判出函數(shù)的極值點并求出極值;
(2)把函數(shù)f(x)的解析式代入后求導,然后對m進行分類,根據(jù)m的不同范圍分析導函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號,從而得到函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)把函數(shù)f(x)的導函數(shù)代入不等式|a-lnx|+ln[f′(x)+3x]>0的左側(cè),根據(jù)給出的x的范圍得到ln[f′(x)+3x]恒大于等于0,而|a-lnx|恒大于等于0,所以只需把使兩者同時為0的a值排除即可.
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了函數(shù)在某點取得極值的條件,考查了函數(shù)恒成立問題,連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)某點的兩側(cè)的單調(diào)性不同,則該點是函數(shù)的極值點,此題是中檔題.