Question

設(shè)向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

b

|²+

3

2

．
（1）求x∈[-

π

6

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．
（2）將y=f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后，再將得到的圖象向下平移5個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）是偶函數(shù)，求φ的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先對函數(shù)解析式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和x的范圍確定f（x）的范圍．
（2）通過圖象平移的法則求得g（x），進而根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)判斷出φ．

解答： 解：（1）f（x）=5

3

cosxsinx+2cos²x+4cos²x+sin²x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+

5+5cos2x

2

+

5

2

=5sin（2x+

π

6

）+5，
∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[

5

2

，10]．
（2）f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5，
∴g（x）=5sin[2（x-φ）+

π

6

]+5-5=5sin（2x-2φ+

π

6

），
∵g（x）為偶函數(shù)，
∴-2φ+

π

6

=kπ+

π

2

，
∵φ＞0，
∴當(dāng)k=-1時，φ有最小值

π

3

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象的平移，三角函數(shù)圖象用性質(zhì)．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用．