Question

如圖，在?OABP中，過點P的直線與線段OA、OB分別交與點M、N，若

OM

=x•

OA

，

ON

=y•

OB

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)充分利用平面向量的基本定理，找準基底將向量

OA

、

OB

分別利用基底表示，再結(jié)合向量的共線即可獲得問題的解答．
（2）結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)圖象的平移變換法則，可分析出f（x）的單調(diào)性，進而求出f（x）的值域

解答：解：（1）∵P，M，N三點共線，

OM

=x•

OA

，

ON

=y•

OB

．
則

ON

=λ

OM

+（1-λ）

OP

=λx•

OA

+（1-λ）（

OB

-

OA

），
∴y•

OB

=（1-λ）

OB

+（λx-1+λ）•

OA

∴y=1-λ，λx-1+λ=0
∴y=1-

1

1+x

=

x

1+x

（x≥0）
（2）∵y=

-1

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴y=

-1

x+1

在[0，+∞）上為增函數(shù)
∴y=1-

1

1+x

在[0，+∞）上為增函數(shù)
∴y∈[0，1）
故函數(shù)求f（x）的值域為[0，1）

點評：本題考查的知識點是平面向量的應(yīng)用，其中三點共線的充要條件即P，M，N三點共線時

ON

=λ

OM

+（1-λ）

OP

是解答本題的關(guān)鍵．