Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（cos（A-B），sin（A-B）），

n

=（cosB，-sinB），且

m

•

n

=-

3

5

．
（1）求sinA的值；
（2）若a=4

2

，b=5，求角B的大小及向量

BA

在

BC

方向上的投影．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則化簡已知等式，求出cosA的值，進而確定出sinA的值；
（2）由a，b，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，確定出B的度數，利用余弦定理列出關系式，將a，b，cosA的值代入求出c的值，即可求出向量

BA

在

BC

方向上的投影．

解答： 解：（1）由

m

•

n

=-

3

5

，得cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-

3

5

，
∴cos（A-B+B）=-

3

5

，即cosA=-

3

5

，
∵0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

1-(- 3 5 )2

=

4

5

；
（2）由正弦定理，有

a

sinA

=

b

sinB

，a=4

2

，b=5，sinA=

4

5

，
∴sinB=

bsinA

a

=

5× 4 5

4 2

=

2

2

，
∵a＞b，∴A＞B，
∴B=

π

4

，
由余弦定理，有32=25+c²+6c，
解得：c=1或c=-7（舍去），
則向量

BA

在

BC

方向上的投影為|

BA

|cosB=c×cosB=1×

2

2

=

2

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握定理是解本題的關鍵．