Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且a_n+1a_n+2≠1，則S₂₀₁₁=    ．

Answer 1

【答案】分析：先由遞推關(guān)系式以及前兩項(xiàng)一步步代入，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)可以得出數(shù)列{a_n}是周期為3的一個(gè)循環(huán)數(shù)列，即可求出S₂₀₁₁的值．
解答：解：因?yàn)閍₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且，
所以有a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃⇒a₃=3；
a₂•a₃•a₄=a₂+a₃+a₄⇒a₄=1；
a₃•a₄•a₅=a₃+a₄+a₅⇒a₅=2；
a₄•a₅•a₆=a₄+a₅+a₆⇒a₆=3；
…
故數(shù)列{a_n}是周期為3的一個(gè)循環(huán)數(shù)列．
所以S₂₀₁₁=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁
=670×（a₁+a₂+a₃）+a_3×670+1
=670×（1+2+3）+1
=4021．
故答案為：4021．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及求數(shù)列的和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題目．