Question

已知函數f（x）=|log₂（x-1）|-（

1

3

）^x有兩個零點x₁，x₂，則（　　）

• A、x₁x₂＜1
• B、x₁x₂＞x₁+x₂
• C、x₁x₂=x₁+x₂
• D、x₁x₂＜x₁+x₂

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：將函數f（x）有兩個零點轉化成兩個新函數有兩個交點，設出交點坐標，根據函數的性質得出不等式，解出即可．

解答： 解：∵f（x）=|

log

(x-1) 2

|-（

1

3

）^x有兩個零點x₁，x₂
即y=|

log

(x-1) 2

|與y=3^-x有兩個交點
由題意x-1＞0，分別畫y=3^-x和y=|

log

(x-1) 2

|的圖象

發(fā)現在（1，2）和（2，+∞）有兩個交點
不妨設x₁在（1，2）里，x₂在（2，+∞）里
那么在（1，2）上有3^-x₁=-

log

(x1-1) 2

，即-3^-x₁=

log

(x1-1) 2

…①
在（2，+∞）有3^-x₂=

log

(x2-1) 2

…②
①②相加有3^-x₂-3^-x₁=

log	(x2-1)(x1-1) 2

∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁ 即3^-x₂-3^-x₁＜0
∴

log	(x2-1)(x1-1) 2

＜0
∴0＜（x₂-1）（x₁-1）＜1，
∴0＜x₂x₁-（x₂+x₁）+1＜1，
∴x₂x₁＜x₂+x₁
故選D．

點評：本題考察了函數的零點問題，指數函數與對數函數的圖象及性質，是一道中檔題．