Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A=，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面AC₁D．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證AB⊥平面A₁ACC₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與平面A₁ACC₁內(nèi)兩相交直線垂直，利用勾股定理可得AB⊥AC，A₁A⊥AB，A₁A∩AC=A，滿足定理條件；
（Ⅱ）連接A₁C交AC₁于E，連DE，則E為A₁C中點，欲證A₁B∥平面AC₁D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁B∥平面AC₁D內(nèi)一直線平行，而DE∥A₁B，A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D，滿足定理條件．
解答：證明：（Ⅰ）在△ABC中，
∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁
∴A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥AB
又∵A₁A∩AC=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁，
（Ⅱ）連接A₁C交AC₁于E，連DE，則E為A₁C中點．
∴DE∥A₁B
又∵A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D
∴A₁B∥平面AC₁D
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．