Question

函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象所有交點的橫坐標之和為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由兩函數(shù)圖象的對稱性知道，它們的交點也有對稱性，再研究對稱軸右邊的交點個數(shù)，得到所求答案．

解答： 解：設P（x₀，y₀）是函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象上任一點，
則當x=2-x₀時，y=|log₂|（2-x₀）-1||=|log₂|x₀-1||=y₀
∴點Q（2-x₀，y₀）也在函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象上．
由于點P、Q關于直線x=1對稱，
∴函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象關于直線x=1對稱．
當x=1時，函數(shù)f（x）=cos（πx）=cosπ=-1
∴函數(shù)f（x）=cos（πx）的圖象關于直線x=1對稱．
∴函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象的交點關于直線x=1對稱．
當1＜x＜2時，函數(shù)f（x）=cos（πx）單調遞增，f（1）=-1，f（2）=1；
而函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||=-log₂（x-1）單調遞減，g（2）=0，
故在區(qū)間（1，2）內，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象有且只一個交點；
當2≤x≤3時，函數(shù)f（x）=cos（πx）單調遞減，f（2）=1，f（3）=-1，
而函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||=log₂（x-1）單調遞增，g（2）=0，
故在區(qū)間（2，3）內，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象有且只一個交點；
當x＞3時，g（x）=|log₂|x-1||=log₂（x-1）＞1，而函數(shù)f（x）=cos（πx）≤1，
故在區(qū)間（3，+∞）內，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象無交點．
綜上所述，函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象共有4個交點，關于直線x=1對稱，
∴函數(shù)f（x）=cos（πx）與函數(shù)g（x）=|log₂|x-1||的圖象所有交點的橫坐標之和為4．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的對稱性和根的存在性，利用函數(shù)單調性研究根的存在情況，利用對稱性求出相應橫坐標之和．本題有一定的難度，屬于中檔題．