Question

給出下列四個(gè)命題：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；
②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有lnx+

1

lnx

≥2；
③已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃；
④若函數(shù)y=f(x-

3

2

)為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F(

3

2

，0)成中心對(duì)稱．
⑤函數(shù)f（x）=cos³x+sin²x-cosx（x∈R）有最大值為2，有最小值為0．
其中所有正確命題的序號(hào)為

①，③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①先證充分性；再證必要性；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以判斷②的真假；
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，對(duì)③進(jìn)行判斷，即可判斷③的正誤．利用函數(shù)的對(duì)稱性判斷④的正誤；將函數(shù)y=cos³x+sin²x-cosx轉(zhuǎn)化為y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式，求得最大值．判斷正誤．

解答：解：對(duì)于①，1°由題意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是銳角，顯然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一為銳角，必是B為銳角，此時(shí)有π-A不是鈍角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此時(shí)有sin（π-A）=sinA＞sinB
綜上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分條件
2°研究sinA＞sinB，若A不是銳角，顯然可得出A＞B，若A是銳角，亦可得出A＞B，
綜上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要條件
綜合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要條件，所以①正確．
對(duì)于②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤2，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，說明若a₄＞a₃，即公差d＞0，則a₅＞a₂，即S₉＞S₃，∴③正確．
對(duì)于④，若函數(shù)y=f(x-

3

2

)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)F(

3

2

，0)成中心對(duì)稱，命題是假命題．
對(duì)于⑤，：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤（

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

）3=

64

27

，
當(dāng)且僅當(dāng)1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

時(shí)取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．
所以⑤不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，函數(shù)的周期性，充要條件的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．