如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使得PC⊥平面ADE?若存在,請(qǐng)加以證明,并求此時(shí)二面角A-DE-B的大小;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PD⊥底面ABCD,結(jié)合正方形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì),我們可得AC⊥BD,PD⊥AC,由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD,再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD;
(2)分別以DA,DC,DP為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)PC⊥平面ADE,我們根據(jù)直線PC的方向向量與平面ADE法向量垂直,數(shù)量積為0,可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程,進(jìn)而得到E點(diǎn)的位置,求出滿足條件的平面ADE與平面BDE的法向量,代入向量夾角公式,即可求出此時(shí)二面角A-DE-B的大小.
解答:解:(1)證明:∵底面ABCD為正方形,∴AC⊥BD
又∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD;
(2)分別以DA,DC,DP為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
∵PD=AD=1
∴D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0)
假設(shè)在線段PB上存在一點(diǎn)E使得PC⊥平面ADE
設(shè)
則E(,,
又∵=(0,1,-1),且
=0,
解得:λ=1,此進(jìn)E為PD的中點(diǎn),
又∵PC⊥AD
∴當(dāng)點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)時(shí),PC⊥平面ADE
∵此時(shí)平面ADE的法向量為=(0,1,-1),
由(I)知平面BDE的法向量為=(-1,1,0)
則cos<>==
∴<,>=60°
故此時(shí)二面角的大小為60°
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,其中(1)的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定定理,(2)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,將空間中直線與平面的垂直關(guān)系及二面角問題,轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大��;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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