如圖,已知直三棱柱,
,
是棱
上動點(diǎn),
是
中點(diǎn) ,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)是棱
中點(diǎn)時,求證:
∥平面
;
(3)在棱上是否存在點(diǎn)
,使得二面角
的大小是
,若存在,求
的長,若不存在,請說明理由.
(1),
平面
(2)
∥
,
四邊形
是平行四邊形
∥
∥平面
(3)在棱
上存在點(diǎn)
,使得二面角
的大小是
,
此時
【解析】
試題分析:(1)證明:∵三棱柱是直棱柱,∴
平面
.
又∵平面
,∴
.
∵,
,
是
中點(diǎn),
∴.
又∵∩
,
∴平面
. ……4分
(2)證明:取的中點(diǎn)
,聯(lián)結(jié)
,
.
∵、
分別是棱
、
中點(diǎn),
∴ ,
.
又∵,
,
∴ ∥
,
.
∴ 四邊形是平行四邊形,
∴ ∥
.
又∵平面
,
平面
,
∴ ∥平面
. ……9分
(3)以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線
為
軸正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
則,
,
.
設(shè),平面
的法向量
,
則,
.
且,
.
于是
所以取
,則
∵ 三棱柱是直棱柱,
∴ 平面
.
又∵ 平面
,∴
.∵
,
∴ . ∵
∩
,∴
平面
.
∴ 是平面
的法向量,
.
二面角的大小是
,
則. 解得
.
∴ 在棱上存在點(diǎn)
,使得二面角
的大小是
,
此時. ……15分
考點(diǎn):本小題主要考查空間立體幾何中的線面垂直、線面平行和二面角問題,考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評:用定理證明立體幾何問題時,要注意定理的條件缺一不可;涉及到二面角問題,常常建立空間直角坐標(biāo)系用空間向量解決.
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