Question

數(shù)列{a_n}是公差為負數(shù)的等差數(shù)列，若a₁₀+a₁₁＜0，且a₁₀•a₁₁＜0，它的前n項和為S_n，則使S_n＞0的n的最大值為（　�。�

• A、11
• B、17
• C、19
• D、21

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意判斷出a₁₀ ＞0、a₁₁＜0，再由通項公式和a₁₀+a₁₁＜0求出d的范圍，令S_n＞0，且 S_n+1≤0由前n項和公式列出不等式組，化簡后再由d的范圍根據(jù)式子進行變形確定n的范圍，即可求出對應的n的值．

解答： 解：由題意得，等差數(shù)列的公差d＜0，則此數(shù)列為遞減數(shù)列，
因為a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，
解得，-9d＜a₁＜-10d．
由a₁₀+a₁₁＜0得，2a₁+19d＜0，解得a₁＜-9.5d，
綜上可得，-9d＜a₁＜-9.5d．
令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，
則

na1+ n(n-1) 2 d＞0 (n+1)a1+ (n+1)n 2 d≤0

，化簡得

a1+ n-1 2 d＞0 a1+ n 2 d≤0

，
即-

2a1

2

≤n＜-

2a1

2

+1，
由，-9d＜a₁＜-9.5d得，
18＜-

2a1

2

＜19，19＜-

2a1

2

+1＜20，
所以19≤n≤19，則n=19，
故選：C．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質：，等比數(shù)列的前n項和公式的應用，不等式的轉化問題，屬于中檔題．