Question

已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).

（3）構(gòu)造函數(shù)借助于導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到求解最值來(lái)得到證明。

【解析】

試題分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分

(Ⅱ),令可得,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).      8分

(Ⅲ),

(1)當(dāng)時(shí), ,.  10分

(2)當(dāng)時(shí),要證.

只需證即可

設(shè)函數(shù).

則,

則當(dāng)時(shí),

令解得,

當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),

則當(dāng)時(shí),且,

則,于是可知當(dāng)時(shí)成立

綜合(1)(2)可知對(duì)任意x>0,恒成立.          14分

另證1:設(shè)函數(shù),則,

則當(dāng)時(shí),

于是當(dāng)時(shí),要證,

只需證即可,

設(shè),,

令解得,

當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),

則當(dāng)時(shí),

于是可知當(dāng)時(shí)成立

綜合(1)(2)可知對(duì)任意x>0,恒成立.

另證2:根據(jù)重要不等式當(dāng)時(shí),即,

于是不等式,

設(shè),,

令解得,

當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),

則當(dāng)時(shí),

于是可知當(dāng)時(shí)成立.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)性，以及求解最值，證明不等式的運(yùn)用，屬于難度題。