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【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）求函數的單調區(qū)間和最值；

（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）在單調遞減，在單調遞增，最小值，無最大值；（2）

【解析】

（1）對函數求導，令及求出時的取值范圍，可得的單調區(qū)間，及的最值；

（2）設，即證時，恒成立，對求導，分與進行討論，可得的取值范圍.

解：（1）由題可知，的定義域為，，

∴在單調遞減，在單調遞增.

∴在時取得最小值，無最大值.

（2）設，即證時，恒成立.

【法一】

①時，恒成立，故在上單調遞增，∴恒成立，符合題意.

②時，恒成立，故在上單調遞增，有.

ⅰ.即時，此時恒成立，故在上單調遞增，∴恒成立，符合題意.

ⅱ.即時，，使得，此時在單調遞減，單調遞增.

∴，不滿足題意，舍去.

綜上所述，.

【法二】

由，發(fā)現，故時，恒成立的必要條件是.

而，，即

①時，恒成立，故在上單調遞增，∴恒成立，符合題意.

②時，在時，，，知.

故在上單調遞增，恒成立，符合題意.

綜上所述，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交所得弦長為，求直線的斜率；

（3）過點的任意直線與橢圓交于、兩點，設點、到直線：的距離分別為.若，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現代研究表明，體脂率（體脂百分數）是衡量人體體重與健康程度的一個標準．為分析體脂率對人體總膽固醇的影響，從女性志愿者中隨機抽取12名志愿者測定其體脂率值及總膽固醇指標值（單位：mmol/L），得到的數據如表所示：

(1)利用表中的數據，是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請用相關系數加以說明.（若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）

(2)求出與的線性回歸方程，并預測總膽固醇指標值為9.5時，對應的體脂率值為多少？（上述數據均要精確到0.1）

(3)醫(yī)學研究表明，人體總膽固醇指標值服從正態(tài)分布，若人體總膽固醇指標值在區(qū)間之外，說明人體總膽固醇異常，該志愿者需作進一步醫(yī)學觀察.現用樣本的作為的估計值，用樣本的標準差作為的估計值，從這12名女志愿者中隨機抽4人，記需作進一步醫(yī)學觀察的人數為，求的分布列和數學期望．

附：參考公式：相關系數，，．

參考數據：，，，

，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某網絡平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機抽取了100位客戶的數據，并將這100個數據按學時數，客戶性別等進行統(tǒng)計，整理得到如表：

學時數

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據上表估計男性客戶購買該課程學時數的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表，結果保留小數點后兩位）；

（2）從這100位客戶中，對購買該課程學時數在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學時數都不低于15的概率．

（3）將購買該課程達到25學時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據已知條件完成以下列聯表，并判斷是否有99．9%的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關？

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計

男性

女性

合計

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，為調查該校學生每則平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集200位學生每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）.調查部分結果如下列聯表：

男生

女生

總計

每周平均體育運動時間不超過4小時

35

每周平均體育運動時間超過4小時

30

總計

200

（1）完成上述每周平均體育運動時間與性別的列聯表，并判斷是否有把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”；

（2）已知在被調查的男生中，有5名數學系的學生，其中有2名學生每周平均體育運動時間超過4小時，現從這5名學生中隨機抽取2人，求恰有1人“每周平均體育運動時間超過4小時”的概率.

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）．

（1）求的解析式及單調遞減區(qū)間；

（2）是否存在常數，使得對于定義域內的任意， 恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知拋物線C：x2=2py經過點（2，1）．

（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；

（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點．

（1）求和平面所成的角的大小．

（2）求二面角的正弦值．

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【題目】設函數．

(1)若函數在上單調遞增，求的取值范圍；

(2)當時，設函數的最小值為，求證：；

(3)求證：對任意的正整數，都有．

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