Question

（08年遼寧卷文）（本小題滿分12分）

     如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.

 

     （Ⅰ）證明：平面和平面互相垂直;

     （Ⅱ）證明：截面和截面面積之和是定值，并求出這個(gè)值;

     （Ⅲ）若，求D′E與平面PQEF所成角的正弦值.

 

Answer 1

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，

又由已知可得，，，

所以，，所以平面．

所以平面和平面互相垂直．4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．8分

（Ⅲ）解：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318174251018.gif' width=45>平面，所以為與平面所成的角．

因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318174251021.gif' width=39>，所以分別為 ，，，的中點(diǎn)．

可知，．所以．12分

解法二：

以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間

直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故

，，，，，，，

，，．

 

 

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

，

，

．

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318174251046.gif' width=164>，所以是平面PQEF的法向量．

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318174251048.gif' width=167>，所以是平面PQGH的法向量．

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318174251050.gif' width=87>，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090318/20090318174251052.gif' width=96>，所以，又，

所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．???????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由為中點(diǎn)可知，分別為，，的中點(diǎn)．

所以，，因此與平面所成角的正弦值等于

．12分