【答案】
分析:(1)欲求在點(1,1)處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(2)欲求函數(shù)
在[a,2a]上的最大值,只須利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題,先求出函數(shù)的極值,比較極值和端點處的函數(shù)值的大小,最后確定出最大值即可.
(3)原問題等價于證明
,下面只要證明左邊函數(shù)的最小值比右邊函數(shù)的最大值還大即可,由(2)可得左邊函數(shù)的最小值,利用導(dǎo)數(shù)求出右邊函數(shù)的最大值,最后比較這兩個值的大小即得.
解答:解:(1)∵f(x)定義域為(0,+∞)f'(x)=lnx+1
∵f(e)=e又∵k=f
/(e)=2
∴函數(shù)y=f(x)的在x=e處的切線方程為:y=2(x-e)+e,即y=2x-e
(2)
令F′(x)=0得
當(dāng)
,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)
,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增.
∴F(x)在[a,2a]上的最大值F
max(x)=max{F(a),F(xiàn)(2a)}
∵
∴當(dāng)
時,F(xiàn)(a)-F(2a)≥0,F(xiàn)
max(x)=F(a)=lna
當(dāng)
時,F(xiàn)(a)-F(2a)<0,F(xiàn)
min(x)=F(2a)=2ln2a
(3)問題等價于證明
,
由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是
,當(dāng)且僅當(dāng)
時取得.
設(shè)
,則
,
易得
,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到,從而對一切x∈(0,+∞),
都有
成立.
點評:本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和分類討論思想.屬于中檔題.