在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸長為，離心率為.
(I)求橢圓的方程;
(II) 為橢圓上滿足的面積為的任意兩點，為線段的中點，射線交橢圓與點，設，求實數(shù)的值.
(I)         (Ⅱ)  或
(I)設橢圓的方程為,
由題意知，解得
因此橢圓的方程為
(II)（1）當兩點關于軸對稱時，
設直線的方程為，由題意知或，
將代入橢圓方程得.
所以
解得或.
又，
因為為橢圓上一點，所以，或
又因為所以或
（2）當兩點關于軸不對稱時，
設直線的方程為，將其代入橢圓方程得
.
設，由判別式可得，
此時

所以，
因為點到直線的距離為，
所以

令，則
解得或，即或.
又，
因為為橢圓上一點，所以，
即，所以或
又因為所以或
經(jīng)檢驗，適合題意.
綜上可知或
【考點定位】本題基于橢圓問題綜合考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關系、平面向量的坐標運算等知識，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力.第一問通過橢圓的性質(zhì)確定其方程，第二問根據(jù)兩點關于軸的對稱關系進行分類討論，分別設出直線的方程，通過聯(lián)立、判斷、消元等一系列運算“動作”達成目標.本題極易簡單考慮設直線的形式而忽略斜率不存在的情況造成漏解.在聯(lián)立方程得到后，后續(xù)運算會多次出現(xiàn)這一式子，換元簡化運算不失為一種好方法，令，搭建了與的橋梁，使坐標的代入運算更為順暢，使“化繁為簡”這一常用原則得以完美呈現(xiàn).
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經(jīng)過點，求（為原點）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的一個焦點坐標為，則其離心率等于              （　 ）
A．2B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的長軸在軸上，且焦距為4，則等于(　　)
A．4B．5C．7D．8

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸，垂足為T，與拋物線交于不同的兩點P、Q且.
（1）求點T的橫坐標；
（2）若以F1,F2為焦點的橢圓C過點.
①求橢圓C的標準方程；
②過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在平面直角坐標系中，若
右頂點，則常數(shù)           .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點F1(-1,0)及F2(1,0),點P在以F1、F2為焦點的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構成等差數(shù)列.

（1）求橢圓C的方程;
（2）如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l, F2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合， 則此橢圓方程為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點（），
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線的方程.

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