設(shè)項數(shù)均為(
)的數(shù)列
、
、
前
項的和分別為
、
、
.已知
,且集合
=
.
(1)已知,求數(shù)列
的通項公式;
(2)若,求
和
的值,并寫出兩對符合題意的數(shù)列
、
;
(3)對于固定的,求證:符合條件的數(shù)列對(
,
)有偶數(shù)對.
(1);(2)
時,數(shù)列
、
可以為(不唯一)6,12,16,14;2,8,10,4,
時,數(shù)列對(
,
)不存在.(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)這實質(zhì)是已知數(shù)列的前項和
,要求通項公式
的問題,利用關(guān)系
來解決;
(2)注意到,從而
,又
,故可求出
,
,這里我們應(yīng)用了整體思維的思想,而要寫出數(shù)列對(
,
),可通過列舉法寫出;(3)可通過構(gòu)造法說明滿足題意和數(shù)列對是成對出現(xiàn)的,即對于數(shù)列對(
,
),構(gòu)造新數(shù)列對
,
(
),則數(shù)列對(
,
)也滿足題意,(要說明的是
及
=
且數(shù)列
與
,
與
不相同(用反證法,若相同,則
,又
,則有
均為奇數(shù),矛盾).
試題解析:(1)時,
時,
,
不適合該式
故,
4分
(2)
又
得,=46,
=26
8分
數(shù)列、
可以為:
① 16,10,8,12;14,6,2,4 ② 14,6,10,16;12,2,4,8
③ 6,16,14,10;4,12,8,2 ④ 4,14,12,16;2,10,6,8
⑤ 4,12,16,14;2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10;14,4,6,2 10分
(3)令,
(
) 12分
又=
,得
=
所以,數(shù)列對(,
)與(
,
)成對出現(xiàn)。 16分
假設(shè)數(shù)列與
相同,則由
及
,得
,
,均為奇數(shù),矛盾!
故,符合條件的數(shù)列對(,
)有偶數(shù)對。
18分
考點:(1)數(shù)列的前項和
與
的關(guān)系;(2)整體思想與列舉法;(3)構(gòu)造法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三上學(xué)期期末考試(一模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)項數(shù)均為(
)的數(shù)列
、
、
前
項的和分別為
、
、
.已知集合
=
.
(1)已知,求數(shù)列
的通項公式;
(2)若,試研究
和
時是否存在符合條件的數(shù)列對(
,
),并說明理由;
(3)若,對于固定的
,求證:符合條件的數(shù)列對(
,
)有偶數(shù)對.
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