已知<β<α<
,cos(α-β)=
,sin(α+β)=-
.求cos2α和cos2β的值.
解∵ ∴π<α+β< 又∵α>β,∴α-β>0.∴0<α-β< ∴sin(α-β)= cos(α+β)=- ∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) �。� cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) = 分析:本題由角α、β的范圍可求出α+β和α-β的范圍.由已知條件和關(guān)系式sin2α+cos2α=1可求出sin(α-β)和cos(α+β)的值,再將2α、2β分別表示為α+β與α-β的和與差,便可由兩角和與差的余弦公式求值.此題若將cos(α-β)和sin(α+β)展開計算,則相當(dāng)繁瑣. |
本題的關(guān)鍵是:(1)利用α、β的范圍正確求出α+β、α-β的范圍; (2)利用sin2α+cos2α=1求sin(α-β)、cos(α+β)時注意開方后取正還是取負(fù); (3)靈活變角2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β). |
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